laboratorio de matematicas Cuerpos de revolución
Primer Ciclo de Educación Secundaria Obligatoria
 
Curiosidad.
Correspondencia del área de la superficie esférica y el área lateral del cilindro. Zona esférica.
Se llama zona esférica a la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos.
 

En la imagen una esfera y un cilindro que tienen el mismo radio y la altura del cilindro es igual al diámetro.
Arquímedes descubrió que si los seccionamos horizontalmente por dos planos paralelos, el área de la zona esférica es igual a la correspondiente en la superficie lateral del cilindro.

Puedes desplazar los planos y comprobarlo, para ello desplaza el punto azul.

Para demostrarlo vamos a considerar una franja muy estrecha.

r es el radio en las dos figuras.
a es el radio de la zona esférica.
z es la anchura de la banda de zona esférica.
c es la anchura de la banda de superficie lateral del cilindro, es la separación que hay entre los planos paralelos.




Basándote en esto deduce la ecuación del área de la zona esférica , conociendo los datos del radio de la esfera y la distancia de separación de los planos que la limitan.
Los triángulos rectángulos de color azul claro y amarillo son semejantes porque sus hipotenusas son respectivamente perpendiculares, igualmente lo son sus catetos. Sus ángulos son iguales y sus lados proporcionales.

Consideremos la razón hipotenusa/cateto menor
r/a = z/c

Producto de medios = producto de extremos
a · z = r · c

Para hallar la superficie de una banda, al ser muy estrecha nos basta multiplicar longitud de su circunferencia · ancho
Área de la banda de zona esférica
= 2 · π · a · z
Área de la banda de superficie lateral de cilindro
= 2 · π · r · c
Observa los factores de estas ecuaciones y los de la igualdad anterior.
       
           
 
 
ProyectoDescartes.org. Año 2005