Los Mosaicos
Taller de matemáticas
 
Propiedad de los romboedros.
Hay propiedades que se cumplen en el plano, resulta muy interesante comprobar si esas propiedades también tienen su correspondiente en el espacio, para ello hay que hacer las transformaciones convenientes.
Hemos visto que los polígonos regulares de número par de lados se pueden partir en interiormente en rombos.
El hexágono se parte en tres rombos iguales.
El octógono se parte en dos cuadrados y cuatro rombos.
El decágono se parte en cinco rombos alargados y otros cinco más cortos y anchos.
También veíamos que esos rombos estaban orientados en direcciones distribuidas radialmente de forma regular.
Vamos a comprobar si los romboedros pueden ser partidos interiormente en hexaedros rómbicos.

Si formamos una estructura con las aristas de un cubo y lo deformamos acercando o alejando dos vértices opuestos, tendremos un hexaedro rómbico achatado o alargado.
Los hexaedros rómbicos, ya sean achatados o alargados, tienen un eje de simetría terciario, ese eje nos vale para apreciar su orientación en el espacio.

Solamente existen tres romboedros que son el cubo, el rombododecaedro y el triacontaedro (que tiene 30 caras).

- ¿El cubo puede ser considerado un romboedro y también puede ser considerado un hexaedro rómbico?
- ¿Cuántos ejes de simetría terciarios tiene?
- ¿Qué direcciones tienen sus ejes de simetría terciarios?
- ¿Esas direcciones están distribuidas regularmente en el espacio?


- ¿Qué figura aparece en esta escena?
- ¿En cuántos hexaedros rómbicos se puede partir un rombododecaedro?
- ¿Los hexaedros rómbicos son alargados o achatados?
- ¿Qué direcciones tienen los ejes de esos hexaedros rómbicos?
- ¿Esas direcciones están distribuidas regularmente en el espacio?

- Para comprobarlo con el romboedro de treinta caras, triacontaedro, es necesario construirlo con palillos. Un buen procedimiento es emplear bastoncitos de algodón que están formados con tubitos de plástico por cuyo interior se puede pasar hilo fino de cobre y de esa manera enlazarlos, el hilo de cobre se puede pasar varias veces por el mismo tubito. Después de haber formado el poliedro se continuará colocando palillos en su interior de forma que lo dividan en hexaedros rómbicos.
- ¿Hay diversas formas de partirlo en hexaedros rómbicos?
- ¿Cuántos hexaedros rómbicos tiene en su interior?
- ¿Cuántos son alargados y cuántos son achatados?
Cada hexaedro rómbico tiene un eje de simetría terciario.
- ¿Qué direcciones en el espacio tienen los ejes de simetría de esos hexaedros rómbicos?
- ¿Esas direcciones están distribuidas regularmente en el espacio?

Esta propiedad nos permite formar un recubrimiento poliédrico del espacio con hexaedros rómbicos, combinando hexaedros alargados y achatados.
Para ello imponemos la condición de que no se pueden colocar juntos y con orientación paralela dos hexaedros iguales, así habremos formado un recubrimiento no repetitivo del espacio, algo semejante a un mosaico de Penrose en tres dimensiones.
         
           
  Eduardo Barbero Corral
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2007