Las particiones regulares de una superficie.
Recordemos las particiones del plano mediante polígonos del mismo tipo.
Los mosaicos o recubrimientos del plano con polígonos iguales, son un tema clásico en el arte y en la geometría popular.
En los casos en que los polígonos no encajan porque sus ángulos no suman exactamente 360º no se pueden formar mosaicos, pero lo hemos forzado para que puedan hacer una partición del plano, trazando polígonos con lados curvos y de distinto tamaño. Al contar las partes en que queda dividido el plano hay que contar también la de fuera.
Estos ejercicios consisten en partir regularmente una superficie en triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, de forma que en cada vértice se junten el mismo número de ellos. Están en archivos word, al contener dibujos tardan un poco en aparecer en la pantalla.
Actividad 1. Partición regular de una superficie en triángulos
Actividad 2. Partición regular de una superficie en diversos polígonos
Actividad 3. Investigando los poliedros regulares en las pelotas de ping-pong

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Al realizarlo apreciamos tres tipos de geometría:
La geometría esférica, en la que se parte a la superficie en un número limitado de polígonos, si ello se hace sobre una superficie esférica originan los poliedros regulares y entonces sus longitudes son iguales y sus líneas no se curvan lateralmente. Para comprobarlo hagamos esas particiones sobre pelotas de ping-pong.
La geometría euclídea, en la que el plano se parte en infinitos polígonos iguales, de líneas rectas, que forman los mosaicos regulares.
La geometría hiperbólica, en la que se parte a la superficie en un mosaico de infinitos polígonos, para que esos polígonos conserven la regularidad deberían estar dibujados sobre una superficie que se fuera frunciendo en cualquier dirección que se tome. Algo así como una hoja de lechuga.

Forma de cada polígono	Número de lados de cada cara	Número de aristas que salen de cada vértice o también número de polígonos que concurren en cada vértice	Tipo de geometría	Número de caras	Número de aristas	Número de vértices	Nombre de la figura	Conjugados (los de igual letra)
triángulo	3	3	esférica	4	6	4	tetraedro	a-a
triángulo	3	4	esférica	8	12	6	octaedro	b
triángulo	3	5	esférica	20	30	12	icosaedro	c
triángulo	3	6	euclídea	infinito	infinito	infinito	mosaico	d
triángulo	3	>6	hiperbólica	infinito	infinito	infinito		e...
cuadrado	4	3	esférica	6	12	8	hexaedro	b
cuadrado	4	4	euclídea	infinito	infinito	infinito	mosaico	f-f
cuadrado	4	>4	hiperbólica	infinito	infinito	infinito		g...
pentágono	5	3	esférica	12	30	20	dodecaedro	c
pentágono	5	>3	hiperbólica	infinito	infinito	infinito		g...
hexágono	6	3	euclídea	infinito	infinito	infinito	mosaico	d
hexágono	6	>3	hiperbólica	infinito	infinito	infinito		...
heptágono...	>6	3	hiperbólica	infinito	infinito	infinito		e...

Actividad 4 Caleidoscopio de plano euclídeo.
Actividad 5 Caleidoscopio de superficie esférica.
Actividad 6 Caleidoscopio de plano hiperbólico.