Proyecciones
estereográficas de superficies esféricas sobre plano.
Desde el punto F de la superficie esférica
más alejado del plano se
proyectan sus puntos sobre el plano.
|
|
- En la proyección estereográfica
se conservan los ángulos de las líneas homólogas,
es decir, un ángulo trazado sobre la superficie esférica
tiene la misma amplitud que su proyección en el plano.
- Una circunferencia trazada
en la superficie esférica se proyecta como otra circunferencia
en el plano. Las circunferencias máximas que pasan por el punto
F se proyectan como rectas que pasan por el centro de la proyección
en el plano -punto O´.
- El triángulo C´D´E´
es un triángulo rectángulo en el que r es su altura.
Las proyecciones de las circunferencias máximas cumplen el teorema
de la altura, es decir, el radio de la proyección de la circunferencia
máxima paralela al plano es media proporcional entre las distancias
máxima y mínima de cada circunferencia al punto O´
centro de la proyección.
En las actividades 1, 2, 3
se hace el trazado de las aristas de los poliedros regulares sobre superficies
esféricas como son las bolas de ping-pong y también sobre
el plano del papel que son sus proyecciones estereográgicas.
|
En ello observamos que las aristas
opuestas, al estar sobre la misma circunferencia máxima, en su proyección
estereográfica son arcos de una misma circunferencia.
Las proyecciones de esas circunferencias
cumplen el teorema de la altura antes mencionado, es decir el producto de las
distancias máxima y mínima de cada circunferencia al punto O´
es el mismo en todas.
Proyecciones
estereográficas de espacio esférico sobre espacio euclídeo.
Observamos
las estructuras de aristas de los montones regulares de burbujas realizadas
en las actividades anteriores, en ellas deducimos varias cosas:
- Sus aristas también
forman arcos de circunferencias.
- El punto centro de la
estructura está en el interior del círculo de cada una de esas
circunferencias.
- Esas circunferencias
también cumplen el teorema de la altura, es decir, que el
producto de las distancias mayor y menor al centro de la estructura es el mismo
en todas y cada una de ellas.
- Las caras de los montones regulares
de burbujas forman polígonos de superficie esférica, varios de
ellos forman parte de una misma superficie esférica. Estas superficies
esféricas, lógicamente son de mayor radio que las circunferencias
de las aristas que delimitan los polígonos en ellas trazados, pero he
comprobado que también cumplen el teorema de la altura, el producto
de las distancias mayor y menor al centro de la estructura es el mismo en cada
superficie esférica de caras y en cada circunferencia de aristas.
Es decir, los montones
de burbujas cumplen todas las características de las proyecciones estereográficas.
Nosotros podemos ver la partición regular de una superficie esférica
y su proyección estereográfica trazada en el plano, no podemos
ver la partición regular de un espacio esférico, pero sí
que podemos ver su proyección estereográfica sobre el espacio
aparentemente euclídeo de nuestra experiencia.
Podemos afirmar con
toda seguridad:
Un montón regular de burbujas es una proyección estereográfica
sobre espacio euclídeo
de una partición regular de un espacio esférico.