Las tres geometrías, esférica, euclídea, hiperbólica. Nota previa. Para entender adecuadamente lo que aquí se expone se deben realizar las actividades que se intercalan, las cuales están en archivos word. Aunque este tema es fundamentalmente de enseñanza superior, algunas de estas actividades pueden ser realizadas por estudiantes de educación secundaria, Esta es una página de laboratorio de matemáticas. Eduardo

Introducción.
Hace más de un siglo que se dio por zanjado el debate en torno al 5º postulado de Euclides, referente a las rectas paralelas a otra que se pueden trazar desde un punto exterior. Así surgieron lo que se conoce como geometrías no euclídeas. Estas geometrías, aun siendo plenamente coherentes, nos cuesta entenderlas, las vemos como una mera especulación matemática abstracta e imaginaria y pensamos que para los fenómenos reales la única geometría válida es la euclídea.
Este artículo puede ayudarnos a entender algo mejor alguna de estas otras geometrías y a ver su realización en fenómenos naturales cotidianos.
Partimos de los recubrimientos o mosaicos o particiones regulares de una superficie en polígonos regulares y llegamos a conceptos de plano hiperbólico y de superficie esférica sobre la que se trazan los poliedros regulares. Seguiremos ese mismo procedimiento adaptándolo al espacio. De este modo haremos particiones del espacio en poliedros regulares. Ello nos llevará a los conceptos de espacio hiperbólico y de espacio esférico y a descubrir los politopos, unas estructuras matemáticas bastante desconocidas que podemos llamar montones regulares de pompas en un espacio esférico. También vamos a generalizar el teorema de Euler referente a los poliedros para que valga también para aplicarle a los montones de pompas.