Es muy difícil imaginarnos las geometrías no euclídeas, porque nuestra experiencia nos hace creer que estamos inmersos en un espacio euclídeo.
Espacio esférico no es el interior de una esfera hueca, en realidad se trata de un mundo diferente al de nuestra experiencia.
Las estructuras de palillos que montamos en las actividades anteriores no son en sí un espacio esférico, sino la proyección estereográfica de ese espacio esférico sobre el espacio euclídeo. El espacio esférico en sí no le podemos dibujar ni en dos ni en más dimensiones.
Para imaginar un espacio esférico, o simplemente para deducir cómo funcionarían en él ciertos fenómenos, debemos hacerlo observando lo que sucede en una superficie esférica y hacer una transcripción al espacio.
Un espacio esférico no es un espacio de cuatro dimensiones, aunque para poder observarlo deberíamos poder salirnos de él y para ello deberíamos movernos en un mundo de cuatro dimensiones.
Un espacio esférico no tiene centro. La proyección estereográfica de un espacio esférico es espacial y sí que tiene centro, pero el espacio esférico originario de ella no tiene centro. De la misma manera que una superficie esférica no tiene centro en ella misma porque ningún punto de la superficie esférica es su centro, cualquier punto de la superficie de una bola es idéntico a los demás. En las actividades referentes a la partición del espacio en regiones iguales, para hacernos una idea de espacio esférico y comprobar que no tiene centro y que cualquier región de su interior es idéntica a las demás observábamos la imagen reflejada en una bola de rodamiento, que hace la función de espejo, desplazábamos esa bola por el interior de las estructuras de palillos que habíamos realizado. Esa experiencia no es perfecta, pero nos puede ayudar a formarnos una idea.
Un espacio esférico no tiene límite o borde, de la misma manera que por mucho que nos desplacemos por una superficie esférica no podemos llegar a su borde, y eso no significa que la superficie esférica sea infinita. Una hormiga que caminara indefinidamente sobre una pelota, sin desviarse ni a derecha ni a izquierda, llegaría a su punto de partida apareciendo por detrás. De la misma manera, el espacio esférico no tiene borde, si nos desplazáramos en línea recta sobre un espacio esférico volveríamos al punto de partida.
Un espacio esférico no es infinito. A diferencia del espacio euclídeo, un espacio esférico tiene unos parámetros concretos, es fundamental la medida de su radio o de su diámetro, -que es el de las circunferencias máximas y superficies esféricas máximas-, y según ello podemos deducir el valor del volumen total de un espacio esférico:
Sabemos que la longitud de una circunferencia es el producto del número pi por el diámetro
Sabemos que la superficie de una esfera es el producto del número pi por el diámetro al cuadrado
El volumen de un espacio esférico vale 1/4 del producto del número pi al cuadrado por el diámetro al cubo (Repito, no confundamos espacio esférico con el espacio que hay en el interior de una esfera hueca).
En un espacio esférico, una recta es una circunferencia máxima, y un plano es lo mismo que una superficie esférica máxima. En un espacio esférico, lo que creemos que es recta pasa a ser una circunferencia máxima, de forma que si nos desplazásemos por ella volveríamos al mismo punto de partida. Si estuviéramos inmersos en un espacio esférico la luz que reflejamos si no chocara contra otros objetos volvería a nosotros, al mirar a cualquier sitio siempre nos veríamos por detrás. En la geometría euclídea dos puntos determinan una recta y tres puntos determinan un plano, en la geometría esférica dos puntos determinan una circunferencia máxima y tres puntos determinan una superficie esférica máxima.
Nuestro planeta es una esfera, para ir de un punto a otro de su superficie por el camino más corto habría que ir por la circunferencia máxima que pasa por esos puntos, por tanto en un espacio esférico la distancia entre dos puntos debe medirse en la circunferencia máxima que pasa por esos dos puntos .
En la superficie terrestre los puntos mutuamente más distantes son antípodas, de la misma manera, en un espacio esférico dos puntos no pueden estar todo lo separados que se quiera, la separación mayor entre dos puntos es media circunferencia máxima, esos puntos serían mútuamente antípodas, en un espacio esférico cada punto tiene su antípoda.